4. Buigstijfheid staalbeton hoofdligger

4.1 Inleiding

Veroorzaakt door het tijdsafhankelijke gedrag van het beton, het feit dat beton nauwelijks trek op kan nemen en de samengestelde doorsnede met verschil in gedrag tussen het beton en het staal, moet bij het ontwerp van een staalbeton hoofdligger gerekend worden met verschillende stijfheden. Zo gelden verschillende buigstijfheden bij de bepaling van krachtsverdeling in een staalbeton ligger voor:

Bij bepaling van de stijfheid voor een samengestelde doorsnede met het beton onder trek belast mag conform ENV 1994-2: 1997 art. 4.2.3 het aandeel van het beton niet worden meegenomen, tenzij het verschijnsel van "tension stiffening" in rekening wordt gebracht.
Daarnaast geldt dat er veelal sprake is van grote flensbreedte van de betonnen rijvloer, waardoor een effectieve breedte genoemd "meewerkende breedte" in rekening moet worden gebracht.
Voor een tuibrug, waar naast buiging ook normaalkracht in de hoofdligger optreedt, behoort voor beide een niet gelijke meewerkende breedte aangehouden te worden.
Voor de berekening van de stijfheid wordt uitgegaan van de n-methode (methode van equivalente staaldoorsnede).

 4.2 Bepaling van meewerkende breedte

Uitgangspunt is dat vlakke doorsneden na buiging vlak blijven. Bij brede flenzen, zoals bij toepassing van bijvoorbeeld een plaatliggerbrug, boogbrug of tuibrug, zullen de rekken en daarmee de spanningen als gevolg van afschuifvervorming aan de randen en in het midden van de betonnen rijvloer kleiner zijn dan t.p.v. de aansluiting rijvloer – hoofdligger. Dit effect wordt in rekening gebracht door uit te gaan van een

Figuur 4.1

FE-model van een stalen plaatbrug met
Spanningsverdeling.

 

 

 

 

 

 

 


Figuur 4.2


voorbeeld van niet gelijkmatioge spanningsverdeling in betonnen rijvloer staalbeton brug als gevolg van langdurende belasting: locatie veldmidden.

 De meewerkende breedte van de betonnen rijvloer kan volgens ENV 1994-2 art. 4.2.2.2, worden uitgerekend voor toetsing van de ULS (en SLS). In deze norm staat dat per ligger een meewerkende breedte moet worden berekend, volgens figuur 4.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Figuur 4.3

Definitie van meewerkende breedte volgens ENV 1994-2.

Waarbij de onderstaande formule moet worden gehanteerd:

beff = b0 + å bei

met:

b0
bei


=
=


de hart op hart afstand van de deuvels in breedterichting
de waarde van de meewerkende breedte aan beide kanten van de plaatligger. Deze waarde is gelijk aan Le / 8, maar niet groter dan de geometrische breedte b, waarbij de lengte Le gelijk is aan de benaderde afstand tussen twee momenten nulpunten, zoals blijkt uit figuur 4.3.

Ook geeft deze figuur een oplossing voor de verandering van de meewerkende breedte bij een statisch onbepaalde brug. De meewerkende breedte beff,0 bij eindopleggingen wordt als volgt bepaald:

beff,0 = b0 + å b I • bei

met:
b i = (0.55 + 0.025 • Le / bei) £ 1.0 en bei is effectieve breedte t.p.v. veldmidden eindoverspanning. Zoals uit figuur 4.3 blijkt treedt een insnoering van meewerkende breedte op daar waar een dwarskrachtensprong aanwezig is.

Rekenvoorbeeld.

Gegeven is een plaatliggerbrug, zie figuur 4.4, doorgaand over vier steunpunten met een eindoverspanning van 20 m en een middenoverspanning van 30 m. De twee stalen hoofdliggers liggen h.o.h. 6 m en het overstek van de betonnen rijvloer bedraagt 2 m. De bovenflenzen van de stalen liggers zijn voorzien van twee rijen stiftdeuvels met b0 = 300 mm.






Figuur 4.4

Plaatliggerbrug met hooggelegen betonnen rijvloer.

 Meewerkende breedte t.p.v. veldmidden middenoverspanning
Le = 0,70 • L2 = 0,70 • 30 = 21 m
bei = Le / 8 = 21 / 8 = 2,63 m
beff,1 = b0 + å bei = 0.15 + 1,85 + 0,15 + 2,63 = 4,78 m
Meewerkende breedte t.p.v. veldmidden eindoverspanning
Le = 0,80 • L1 = 0,80 • 20 = 16 m
bei = Le / 8 = 16 / 8 = 2,00 m
beff,1 = b0 + å bei = 0,15 + 1,85 + 0,15 + 2,00 = 4,15 m
Meewerkende breedte t.p.v. middensteunpunt
Le = 0,25 • (L1 + L2) = 0,25 • (20 + 30) = 12,50 m
bei = Le / 8 = 12,50 / 8 = 1,56 m
beff,2 = b0 + å bei = 0,15 + 1,56 + 0,15 + 1,56 = 3,42 m
Meewerkende breedte t.p.v. eindoplegging
Le = 0,80 • L1 = 0,80 • 20 = 16 m
b i = (0.55 + 0.025 • Le / bi) £ 1.0
b 1 = (0.55 + 0.025 • 0,80 • 20 / 2,85) = 0,69
b 2 = (0.55 + 0.025 • 0,80 • 20 / 1,85) = 0,76
beff,0 = b0 + å b i • bei = 0,3 + 0,69 • 2 + 0,76 • 1,85 = 3,09 m
Wanneer de volledige breedte actief zou zijn dan geldt beff = 2,00 + 3,00 = 5,00 m.

 4.3 Bepaling van buigstijfheid

Ter plaatse van tussensteunpunten, waar een overgangsmoment optreedt, is de kans groot dat de betonnen rijvloer in langsrichting op trek wordt belast. De montagewijze kan in sterke mate de grootte van deze trek beïnvloeden. Veroorzaakt door deze trekkracht kan het beton gaan scheuren, met als gevolg dat de stijfheid van de samengestelde doorsnede wijzigt en dus ook de momentenverdeling over de liggerlengte. Het effect van scheurvorming op de momentenverdeling mag met bepaalde restricties volgens ENV 1994-2 art. 4.5.3.4 op een aantal vereenvoudigde manieren worden bepaald.

Er bestaan drie verschillende buigstijfheden:

4.3.1 Bepaling van buigstijfheid EI1 en EI,2

Een voorbeeldberekening wordt gegeven van bepaling van EI1,2 –waarde voor:









Figuur 4.5

Beschouwde dwarsdoorsnede.


oppervlakte staal:

As = A1+A2+A3 = b1 • d1 + b2 • d2+ b3 • d3
neutrale lijn staal:
hs = (A1 • zw1 + A2 • zw2 + A3 • zw3) / (As)
oppervlakte beton:
Ac = beff • dc
neutrale lijn beton:
htot = hplt + 0,5dc
E staal / E beton:
n = Ea/ Ec
neutrale lijn staalbeton:hsam = (As • hs + (Ac/n) • hc) / (As + (Ac/n))
traagheidsmoment beton:
Ic = 1/12 • beff • dc3
traagheidsmoment samengestelde drsn.:
Isam = Is + As (hsam - hs)2 + (Ic/n) + (Ac/n) •
hsam - hc)2
staalspanning onder:
s st,ond = (Md • hsam) / Isam
staalspanning boven:
s st,bov = (Md • (hsam - hplt)) / Isambetonspanning onderkant beton dek:
s bet,ond = (Md • (hsam - hplt)) / (Isam • n)
betonspanning bovenkant beton dek:
s bet,bov = (Md • (hsam - htot)) / (Isam • n)

Figuur 4.6

Enkele rekenregels voor bepaling doorsnede gegevens (ongescheurde doorsnede waarbij aandeel van wapening is verwaarloosd).

 

Uitgangspunt is betonkwaliteit C50/60 met Ecm = 37000 N/mm2.
Enige toelichting op de bepaling van de n-waarden als hierna berekend.
Kortdurende belasting

Langdurende belasting

Toelichting hierop staat gegeven in paragraaf 5.4.2.2.

y L
f t

f t
=
=

=
de verouderingsfactor volgens ENV 1994-2 tabel 4.0: y L = 1.10.
kruipfactor volgens ENV 1992-1-1:1991 art. A.1.1.2.
Als uit figuur 4.7 van onderstaande berekening volgt geldt hiervoor:
1.86.



Krimp
















































Figuur 4.7a

Bepaling van doorsnede eigenschappen

















































Figuur 4.7b
Bepaling van doorsnede eigenschappen

Voor de beschouwde geometrie is te concluderen dat:

4.3.2 Bepaling van buigstijfheid I2,ts -waarde

De bepaling van de I2,ts -waarde is gebaseerd op het gedrag "tension stiffening". Dit conform de rekenregels gegeven in ENV 1994-2 annex L3 en L4. Deze rekenregels zijn enkel geldig voor op buiging belaste staalbetonliggers (gewapend dan wel voorgespannen). Voor bijv. de hoofdligger van een boogbrug, met daarin een grote normaalkracht, gelden andere rekenregels.
Het gedrag "tension stiffening" betekent dat het gescheurde beton voor een deel blijft bijdragen aan de buigstijfheid van de staalbeton doorsnede. Dit omdat er beton aan de wapening vast blijft zitten tussen de scheuren in. De stijfheid van de staalbeton doorsnede is afhankelijk van het moment dat optreedt en het verloop ervan is in figuur 4.8 weergegeven. Zoals uit figuur 4.8 blijkt, worden er drie verschillende zones onderscheiden.

Mcr


Mcr,ts


EaI1



EaI2

















het moment waarbij eerste initiatie scheurvorming optreedt.

het moment ten tijde van start gestabiliseerd scheurpatroon.

stijfheid staalbeton doorsnede uitgaande van ongescheurd beton.

stijfheid staalbeton doorsnede uitgaande van volledig gescheurd beton, waarbij het wapeningsstaal c.q. voorspanstaal wordt meegenomen.














Figuur 4.8

Effectieve stijfheid EaI staalbeton doorsnede als functie van buigend moment M.

 

De te onderscheiden zones zijn:
a. ongescheurde zone
b. initiële scheurvormingzone
c. stabiele scheurvormingzone.

Het bijbehorende M - c diagram is gegeven in figuur 4.9.

Deels afhankelijk van de aard van de toets (ULS, SLS etc.), moet bij overschrijding van de trekspanning 1,3 fctk,0.95 in het beton, uitgaande van ongescheurde doorsnede, gerekend worden met EaI2. Aanvullend geldt dat bij overschrijding van fctk,0.95 gewerkt moet worden met EaI2,ts.

























Figuur 4.9

M - c diagram behorende bij op buiging belaste staalbeton doorsnede.

 In de ongescheurde toestand kunnen de spanningen eenvoudig volgens de elasticiteitstheorie worden berekend. Het moment Mcr wordt gedefinieerd als het moment dat de gemiddelde toelaatbare trekspanning in het beton veroorzaakt bovenin het beton van de staalbeton doorsnede. De spannningen die worden veroorzaakt door krimp moeten hierbij zijn inbegrepen.
Het moment Mcr wordt op de volgende wijze bepaald:



met


s c,e = betontrekspanning door krimp van het beton
hc = hoogte van de betonnen rijvloer in mm
z0 = afstand tussen de zwaartelijnen van de betonnen rijvloer en de ongescheurde staal-beton doorsnede

I1

= buigstijfheid van de ongescheurde staal-beton doorsnede

























Figuur 4.10

Ongescheurde zone: definitie van Mcr .

De waarde e sm in de betonnen rijvloer, die voor scheuren van deze rijvloer zorgt, wordt veroorzaakt door een normaalkracht tengevolge van het scheurmoment Mcr en de normaalkracht tengevolge van krimp Nc,e . De bepaling van e sm is hierna gegeven bij de beschouwing van de initiële scheurvormingstoestand (zone b). Het aandeel van een buigend moment in het beton is hierbij te verwaarlozen.












Figuur 4.11

Krachten, gemiddelde rekken en de kromming in een staalbetondoorsnede.

 De effectieve stijfheid EaI2,ts van de gescheurde staalbeton doorsnede, rekening houdend met het effect van tension stiffening, volgt uit de kromming van de staaldoorsnede.

 

In de initiële scheurvormingstoestand is de normaalkracht Ns in de betonnen rijvloer constant en gelijk aan Ns,cr met

n0 = Estaal / Ebeton = Ea / Ec (dus uitgaande van kortdurende belasting);
r s = wapeningspercentage, As/Ac;
hc = hoogte van de betonnen rijvloer; uitgaande van kortdurende belasting en ongescheurde staalbetondoorsnede de afstand tussen neutrale lijn
z0

=

betondoorsnede en neutrale lijn samengestelde staalbeton doorsnede.

 De normaalkracht Ns in de stabiele scheurvormingstoestand (zone c) kan op de onderstaande wijze worden berekend.  






Figuur 4.12

Krachtsverdeling behorende bij stabiele scheurvormingszone.



Veroorzaakt door tension stiffening is het bijkomende aandeel



met

De oppervlakte A2 = Aa + As. Hierbij is Aa de oppervlakte van de constructie-staaldoorsnede en As die van de wapeningsdoorsnede. De factor b m is gelijk aan 0.4.
Veroorzaakt door wapening in het beton is het bijkomende aandeel

 

De grens tussen zone b en zone c wordt gevormd door het moment Mcr,ts dat op de volgende wijze kan worden bepaald.

Onderstaand is een voorbeeld berekening van bepaling van I2,ts .

 

Zo volgt uit de berekening dat I2 = 1.08E+11mm4 en I2,ts = 1.21E+11 mm

4.4 Momentenverdeling in relatie tot buigstijfheid

Als gevolg van scheuren van het beton wijzigt de stijfheid en daardoor ook de momentenverdeling over de liggerlengte.
Conform ENV 1994-2: 1997 art. 4.5.3.4 mag, wanneer aan een aantal voorwaarden wordt voldaan, de momentenverdeling op een aantal verschillende manieren worden bepaald.

Eerste methode
Voor de gehele liggerlengte wordt uitgegaan van EaI1. Vervolgens behoren de overgangsmomenten t.p.v. de tussensteunpunten met max. 10% te worden gereduceerd (uitgezonderd voor de toets ULS-vermoeiing) en te worden herverdeeld over de rest van de ligger.

Tweede methode
Wanneer geen sprake is van voorgespannen betonnen rijvloer en er geen drukspanning in de rijvloer is geïntroduceerd, veroorzaakt door bijv. opgelegde steunpuntsverplaatsing, en de verhouding van aansluitende overspanningen minimaal 0.6 bedraagt, dan mag bij trek op de betondoorsnede de momentenverdeling worden bepaald uitgaande van EaI2 over 15% van de liggerlengte ter weerszijden van het tussensteunpunt en EaI1 voor de overige liggerlengten.










Figuur 4.13

Stijfheidsverdeling bij scheurvorming t.p.v. tussensteunpunt.


Derde methode
In eerste instantie wordt de momentenverdeling bepaald uitgaande van EaI1.
Vervolgens geldt voor zowel de ULS als SLS toets: